Question

4．已知函数f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（x）在区间[t，t+1]上的最小值；
（2）作出函数g（x）=|f（x）|的图象，并根据图象写出其单调递增区间；
（3）若关于x的方程|f（x）|-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数图象的对称轴x=2，讨论区间与对称轴的位置关系，从而求最小值；
（2）根据对折变换原则，可得函数图象，进而得到单调递增区间；
（3）若关于x的方程|f（x）|-a=x至少有三个不相等的实数根，则g（x）=|f（x）|的图象与y=x+a至少有三个交点，数形结合，可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-4x+3的图象是开口朝上，对称轴为x=2的抛物线；
当t＞2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t）=t²-4t+3；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（2）=-1；
当2＞t+1，即t＜1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t+1）=t²-2t；
综上所述：函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-4t+3，t＞2\\-1，1≤t≤2\\{t}^{2}-2t，t＜1\end{array}\right.$．
（2）函数g（x）=|f（x）|的图象如下图所示：

由图可得：函数g（x）的单调递增区间为[1，2]，[3，+∞），
（3）若关于x的方程|f（x）|-a=x至少有三个不相等的实数根，
则g（x）=|f（x）|的图象与y=x+a至少有三个交点，
结合（2）中图象可得：
当a=-1时，g（x）=|f（x）|的图象与y=x+a有三个交点，
当y=x+a与y=-（x²-4x+3）相切时，g（x）=|f（x）|的图象与y=x+a有三个交点，
此时，△=9-4（3+a）=0，解得：a=-$\frac{3}{4}$，
故满足条件的a的取值范围为[-1，-$\frac{3}{4}$]

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值的求法与应用，函数图象的对折变换，方程的根与函数图象的零点，难度中档．