Question

19．已知ax³=by³=cz³，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1，求证：（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{1}{3}}$+b${\;}^{\frac{1}{3}}$+c${\;}^{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 设ax³=by³=cz³=t³，则$\root{3}{a}$+$\root{3}{b}$+$\root{3}{c}$=t（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）=t，再推导出（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=t．由此能证明（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{1}{3}}$+b${\;}^{\frac{1}{3}}$+c${\;}^{\frac{1}{3}}$．

解答 证明：∵ax³=by³=cz³，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1，
∴设ax³=by³=cz³=t³，∴a=$\frac{{t}^{3}}{{x}^{3}}$，b=$\frac{{t}^{3}}{{y}^{3}}$，c=$\frac{{t}^{3}}{{z}^{3}}$，
∵$\root{3}{a}$+$\root{3}{b}$+$\root{3}{c}$=t（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）=t，
（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{a{x}^{3}×\frac{1}{x}+b{y}^{3}×\frac{1}{y}+c{z}^{3}×\frac{1}{z}}$=t．
∴（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{1}{3}}$+b${\;}^{\frac{1}{3}}$+c${\;}^{\frac{1}{3}}$．

点评 本题考查等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂的性质和运算法则的合理运用．