题目内容
16.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若cosB+cosC=$\frac{b+c}{a}$,则这个三角形的形状是( )A. | 锐角三角形 | B. | 钝角三角形 | C. | 直角三角形 | D. | 不确定 |
分析 把正弦定理代入已知的等式,并利用和差化积公式求得cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,进而求出$\frac{B+C}{2}$ 的大小,
从而得到A=$\frac{π}{2}$,故得答案.
解答 解:∵cosB+cosC=$\frac{b+c}{a}$,∴b+c=a(cosB+cosC),
由正弦定理得 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC),
∴2sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$(2cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$ ).由于cos$\frac{B-C}{2}$≠0,
∴sin$\frac{B+C}{2}$=sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B+C}{2}$•2cos$\frac{B+C}{2}$,∴2cos2 $\frac{B+C}{2}$=1,
∴cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{4}$,B+C=$\frac{π}{2}$,∴A=$\frac{π}{2}$.
故选:C.
点评 本题考查正弦定理,和差化积公式的应用,根据三角函数值求角的大小,求出cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.是解题的关键.
练习册系列答案
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6.已知α是第二象限角,tan(π+α)=-$\frac{8}{15}$,则cos(α-$\frac{π}{2}$)=( )
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | -$\frac{1}{8}$ | C. | $\frac{8}{17}$ | D. | -$\frac{8}{17}$ |
11.有下列四组命题:
①P:集合A⊆B,B⊆C,C⊆A,Q:集合A=B=C;
②P:A∩B=A∩C,Q:B=C;
③P:(x-2)(x-3)=0,Q:$\frac{x-2}{x-3}$=0;
④P:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过原点,Q:c=0
其中P是Q的充要条件的有 ( )
①P:集合A⊆B,B⊆C,C⊆A,Q:集合A=B=C;
②P:A∩B=A∩C,Q:B=C;
③P:(x-2)(x-3)=0,Q:$\frac{x-2}{x-3}$=0;
④P:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过原点,Q:c=0
其中P是Q的充要条件的有 ( )
A. | ①、② | B. | ①、④ | C. | ②、③ | D. | ②、④ |
1.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的命题中,正确的是( )
A. | 若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点; | |
B. | 若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值; | |
C. | 函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点; | |
D. | 用二分法求方程的根时,得到的都是近似解 |
5.已知a=$0.{3}^{-\frac{1}{2}}$,b=$3.{5}^{\frac{2}{3}}$,c=$0.{3}^{-\frac{1}{3}}$,则( )
A. | a>b>c | B. | b>c>a | C. | a>c>b | D. | b>a>c |