Question

2．已知f（x）=a^|x|+$\frac{2}{{a}^{|x|}}$，当a＞1，解方程f（x）=m（m＞2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 换元t=a^|x|，得出t²-mt+2=0，m$＞2\sqrt{2}$，运用二次方程求解t=$\frac{m±\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$，再利用指数函数分类求解即可．

解答 解；∵f（x）=a^|x|+$\frac{2}{{a}^{|x|}}$，当a＞1，f（x）=m（m＞2$\sqrt{2}$）．
∴设t=a^|x|，
则t²-mt+2=0，m$＞2\sqrt{2}$，
即t=$\frac{m±\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$，
①a^|x|=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$，x=±log_a（$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$），
②a^|x|=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$x=±log_a（$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$），
故方程的解为：x=±log_a（$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$），或x=±log_a（$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{2}$），

点评 本题考查了指数型函数的性质，换元法求解方程的解，属于难度较大的题目．