题目内容
【题目】已知函数,其中e为自然对数的底数.
(1)若函数的图象在点
处的切线方程为
,求实数a的值;
(2)若函数有2个不同的零点
,
.
①求实数a的取值范围;
②求证:.
【答案】(1)0;(2)①;②详见解析.
【解析】
(1)根据切线方程可知,即可求解;
(2)①求函数导数,分类讨论,显然时,
恒成立,不符合题意,
时,由导数可求函数最小值,函数有零点则最小值需小于0,得
,易知
在
上有1个零点,利用导数证明函数在
上有1个零点即可求
的取值范围;
②利用导数构造函数先证明当,
,
时,
,结合①可得
,取对数即可得出结论.
(1)因为,
所以切线的斜率为,解得
,
所以实数的值为0.
(2)①由题意知函数的定义域为
且
.
当时,
恒成立,
所以在
上为增函数,
故至多有1个零点,不合题意.
当时,令
,则
.
若,则
,
所以在
上为增函数;
若,则
,
所以在
上为减函数.
故的最小值为
.
依题意知,解得
.
一方面,,所以
在
上有1个零点.
另一方面,先证明.
令,则
当时,
,故
在
上为增函数;
当时,
.故
在
上为减函数.
所以的最大值为
,故
.
因为,所以
.
而.
令,
,则
当时,
.故
在
上为增函数,
所以
故
因此在
上有1个零点,
综上,实数的取值范围是
.
②先证明当,
,
时,
.(*)
不妨设,
(*)式等价,
等价于
在中,令
,即证
.
令
则,
所以在
上为增函数,故
,
所以成立,
所以成立.
在中,令
,即证
.
令,则
,
所以在
上为减函数,故
,
所以成立,
所以成立.
综上,(*)式成立.
由①得有2个零点
,
,
则,所以
,
两边取“”得
,
所以.
利用得:
,
所以且
.
又因为
所以,
故.
因此.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的出售,当顾客在商场内消费一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:
消费金额(元)的范围 | … | ||||
获得奖券的金额(元) | 30 | 60 | 100 | 130 | … |
根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如:购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为:元,设购买商品得到的优惠率=(购买商品获得的优惠额)/(商品标价),试问:
(1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?
(2)对于标价在(元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于
的优惠率?