Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．
（Ⅰ）求证：A′D⊥平面A′EC；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′EC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接CE，A′M，根据空间中的垂直关系，可以证明DA′⊥平面A′EC；
（Ⅱ） 作MH⊥A′E于点H，连接HF，根据（Ⅰ）的结论，得出∠MFH为MF与平面A′EC所成的角，
计算∠MFH的正切值，从而求出它的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接CE，A′M，如图所示；
设BC=1，则AB=2，AE=BE=1，
∵AE=AD，且∠A=90°，M为DE的中点，∴AM⊥DE，
∴∠DA′E=90°，
A′M⊥DE；
又∵平面A′DE⊥平面ABCD，平面A′DE∩平面ABCD=DE，∴A′M⊥平面ABCD，
∴A′M⊥CE；
又∵A′E∩CE=E，∴DA′⊥平面A′EC；
（Ⅱ） 作MH⊥A′E于点H，连接HF，则MH∥DA′，FH∥CE；
由（Ⅰ）知，DA′⊥平面A′EC，∴MH⊥平面A′EC，
∴∠MFH为MF与平面A′EC所成的角，
∴tan∠MFH=$\frac{MH}{FH}$=$\frac{{\frac{1}{2}A}^{′}D}{\frac{1}{2}CE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴sin∠MFH=$\frac{MH}{FM}$=$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．          （15分）

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间角的计算问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是综合性题目．