Question

3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的两条渐近线分别与抛物线y²=6x相交于点O外的A、B两点，若A、B的连线过双曲线的右顶点，且以双曲线C的右焦点为圆心的圆过O、A两点，则双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，代入y²=6x，可得A（$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$，$\frac{6a}{b}$），B（$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$，-$\frac{6a}{b}$）．利用A、B的连线过双曲线的右顶点，可得6a=b²，①利用以双曲线C的右焦点为圆心的圆过O、A两点，可得c²=（$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$-c）²+（$\frac{6a}{b}$）²，②由①②可得a=2，b=2$\sqrt{3}$，即可求出双曲线C的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，代入y²=6x，可得A（$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$，$\frac{6a}{b}$），B（$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$，-$\frac{6a}{b}$）．
∵A、B的连线过双曲线的右顶点，
∴$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$=a，∴6a=b²，①
∵以双曲线C的右焦点为圆心的圆过O、A两点，
∴c²=（$\frac{6{a}^{2}}{{b}^{2}}$-c）²+（$\frac{6a}{b}$）²，②
由①②可得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查双曲线C的方程与性质，考查学生的计算能力，确定A，B的坐标是关键．