题目内容
8．定义域是R的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数都成立，则称f（x）是R上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；
②f（x）=x2是一个“λ的相关函数”；
③“$\frac{1}{2}$的相关函数”至少有一个零点；
④若y=ex是“λ的相关函数”，则-1＜λ＜0．
其中正确结论的个数是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 利用新定义“λ的相关函数”，对①②③④逐个判断即可得到答案
解答 解：解：①∵f（x）=0是一个“λ的相关函数”，则0+λ•0=0，λ可以取遍实数集，因此f（x）=0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故①不正确；
②用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，
∴λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，
∴f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；
③令x=0得：f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f（0）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f2（0）＜0，
又因为f（x）的函数图象是连续不断，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有实数根．因此任意的“$\frac{1}{2}$相关函数”必有根，即任意“$\frac{1}{2}$的相关函数”至少有一个零点，故③正确．
④假设f（x）=ex是一个“λ-同伴函数”，则ex+λ+λex=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，可解得-1＜λ＜0．④正确．
故选：B．
点评 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ的相关函数的定义，是解答本题的关键
练习册系列答案
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| A． | $\frac{40}{41}$ | B． | $\frac{20}{41}$ | C． | $\frac{42}{43}$ | D． | $\frac{21}{43}$ |