Question

1．已知函数f（x）=x²-ax（a∈R）
（1）若不等式f（x）＞a-3的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）设x＞y＞0，且xy=2，若不等式f（x）+f（y）+2ay≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞a-3可化为ax²-ax-a+3＞0，当a=0时，不等式即3＞0，满足条件；当a≠0时，根据判别式△＜0，求得a的范围，综合可得结论；
（2）x＞y＞0，不等式f（x）+f（y）+2ay≥0即为a≤$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＞a-3可化为x²-ax-a+3＞0，
当a=0时，不等式即3＞0，满足不等式f（x）＞0的解集为全体实数R，
当a≠0时，根据判别式△＜0，求得-6＜a＜2且a≠0．
综上可得，实数a的取值范围是 （-6，2）．
（2）x＞y＞0，不等式f（x）+f（y）+2ay≥0即为a≤$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$，
∵xy=2，∴$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$=$\frac{{（x-y）}^{2}+2xy}{x-y}$=（x-y）+$\frac{4}{x-y}$≥4，
当且仅当x-y=$\frac{4}{x-y}$，即x=$\sqrt{3}$+1，y=$\sqrt{3}$-1时，$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x-y}$取最小值4，
∴a≤4．

点评 本题主要考查二次函数的性质、一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．