题目内容
12.已知正数a、b满足$\frac{3}{5a}$+$\frac{1}{5b}$=1,实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$,z=ax+by,则当3a+4b取最小值时z的最大值为5.分析 利用基本不等式先求出a,b,然后由约束条件作出可行域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合即可得到结论.
解答 解:正数a,b满足$\frac{3}{5a}$+$\frac{1}{5b}$=1,
则3a+4b=(3a+4b)($\frac{3}{5a}$+$\frac{1}{5b}$)=$\frac{1}{5}$($\frac{3a}{b}+\frac{12b}{a}$+13)≥$\frac{1}{5}×(2\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{12b}{a}}+13)$=3,
当且仅当a=1,b=$\frac{1}{2}$,取等号.
即目标函数z=ax+by=x+$\frac{1}{2}$y,
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤2\\ x+2y≥5\\ y-2≤0\end{array}\right.$作出可行域如图,
联立$\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y-2=0\end{array}\right.$,解得A(4,2),
由z=x+$\frac{1}{2}$y,得y=-2x+2z,
由图可知,当直线y=-2x+2z过点A(4,2)时,
直线在y轴上的截距最大,z有最大值为:4+2×$\frac{1}{2}$=5.
故答案为:5.
点评 本题考查了基本不等式的应用,简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
练习册系列答案
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