Question

6．某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P的两侧建造A，B两个空气净化站（A，P，B三点共线），A，B两站对该城市的净化度分别为a，1-a，其中a∈（0，1）．已知对该城市总净化效果为A，B两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心P到净化站距离成反比．若AB=1，且当AP=$\frac{3}{4}$时，A站对该城市的净化效果为$\frac{a}{3}$，B站对该城市的净化效果为1-a．
（1）设AP=x，x∈（0，1），求A，B两站对该城市的总净化效果f（x）；
（2）无论A，B两站建在何处，若要求A，B两站对该城市的总净化效果至少达到$\frac{1}{2}$，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）通过设A站对P城市的净化效果为y₁、比例系数为k₁，利用y₁=$\frac{{a•k}_{1}}{x}$可知y₁=$\frac{a}{4x}$，同理y₂=$\frac{1-a}{4（1-x）}$，进而可得结论；
（2）通过变形、利用基本不等式可知f（x）_min=$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]≥$\frac{1}{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）设A站对P城市的净化效果为y₁，
比例系数为k₁，则y₁=$\frac{{a•k}_{1}}{x}$，
由题意x=$\frac{3}{4}$，y₁=$\frac{a}{3}$，即$\frac{a}{3}$=$\frac{a•{k}_{1}}{\frac{3}{4}}$，
∴k₁=$\frac{1}{4}$，∴y₁=$\frac{a}{4x}$；
设B站对P城市的净化效果为y₂，则y₂=k₂•$\frac{1-a}{1-x}$，
由x=$\frac{3}{4}$，y₂=1-a可知k₂=$\frac{1}{4}$，
∴y₂=$\frac{1-a}{4（1-x）}$；
∴A、B两站对该城市的总净化效果f（x）为：f（x）=y₁+y₂=$\frac{a}{4x}$+$\frac{1-a}{4（1-x）}$，x∈（0，1）；
（2）由题可知：f（x）≥$\frac{1}{2}$对任意x∈（0，1）恒成立，
只需x∈（0，1）时f（x）_min≥$\frac{1}{2}$即可．
又∵$\frac{a}{4x}$+$\frac{1-a}{4（1-x）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{a}{x}$+$\frac{1-a}{1-x}$）[x+（1-x）]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{a（1-x）}{x}$+$\frac{（1-a）x}{1-x}$]
≥$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{\frac{a（1-x）}{x}•\frac{（1-a）x}{1-x}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]，
当且仅当$\frac{a（1-x）}{x}$=$\frac{（1-a）x}{1-x}$即$\frac{1}{x}$=1+$\sqrt{\frac{1}{a}-1}$时取等号，
∴f（x）_min=$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]，
又∵$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]≥$\frac{1}{2}$，
∴$（a-\frac{1}{2}）^{2}$≤0，即a=$\frac{1}{2}$，
综上所述，满足条件的a的取值集合为{$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．