Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性（只写出结论即可）；

（3）若对任意的不等式恒成立,求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），； （2）见解析； （3）.

【解析】

（1）根据函数奇偶性得,，解得的值；最后代入验证,（2）可举例比较大小确定单调性,(3)根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为,再根据恒成立转化为对应函数最值问题,最后根据函数最值得结果.

(1) 在上是奇函数，

∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∴，

经检验知：，

∴，．

（2）由(1)可知，在上减函数.

（3）对于恒成立，

对于恒成立，

在上是奇函数，

对于恒成立，

又 在上是减函数，

，即对于恒成立，

而函数在上的最大值为2，，

∴实数的取值范围为．