题目内容

已知两点F′（-2，0），F（2，0），点P为坐标平面内的动点，且满足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与轨迹C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四点，自下而上依次记这四点为A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．
（1）
F′F
=(4，0)，
F′P
=(x+2，y)
依题意得4•
(x-2)2+y2
+4(x+2)=0，
化简得y2=8x
（2）设直线l的方程为x=my+2，A（x1，y1），D（x2，y2）
联立方程得
x=my+2
y2=8x
⇒y2-8my-16=0，
∴
y1+y2=8m
y1•y2=-16

∵△≥0即（8m）2-4•（-16）≥0恒成立
∴
AB
•
CD
=|
AB
||
CD
|=(x1+2-1)(x2+2-1)=(x1+1)(x2+1)
=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+3m（y1+y2）+9
=-16m2+24m2+9=8m2+9，
当m=0时，即直线l的方程为x=2，
AB
•
CD
的最小值为9．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=
3
x相切，圆N：（x-2）2+y2=1．过点P（1，
3
）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：
s
t
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且
MP
=
2
3
PN
，点P随线段MN的运动而变化．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
OS
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(1，
q
2
)，且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
，0)，求k的取值范围．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±
3
x，O为坐标原点，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．
（A题）如图，在椭圆
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，B，D分别为椭圆的左右顶点，A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线AF1交y轴于点E，且点F1，F2三等分线段BD．
（1）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标；
（2）设m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范围．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，
MA1
=2
A1F1
．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若
OC
•
OD
=0，求直线l'的方程．
直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，
CB
=3
BF
，则p=（　　）
A．2B．
4
3
C．
8
3
D．4
已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为-
1
2
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，若对满足条件的任意直线l，不等式
QM
•
QN
≤λ恒成立，求λ的最小值．

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