题目内容
(A题)如图,在椭圆
+
=1(a>0)中,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF1交y轴于点E,且点F1,F2三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF2为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
,n=
,求m+n的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
8 |
(1)若四边形EBCF2为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S△AF1O |
S△AEO |
S△CF1O |
S△CEO |
(1)因为F1,F2三等分线段BD,所以|F1F2|=
|BD|,即2c=
•2a,所以a=3c①,
又a2=b2+c2②,b2=8③,联立①②③解得a=3,c=1,
所以B(-3,0),F1(-1,0),F1为BF2的中点,
因为四边形EBCF2为平行四边形,所以C,E关于F1(-1,0)对称,
设C(x0,y0),则E(-2-x0,-y0),
因为E在y轴上,所以-2-x0=0,解得x0=-2,
又因为点C(x0,y0)在椭圆上,所以
+
=1,
又x0=-2,所以
+
=1,解得y0=±
,依题意y0=-
,
因此点C的坐标为(-2,-
);
(2)依题意直线AC的斜率存在,所以可设直线AC:y=k(x+1),A(x1,y1),C(x2,y2),
由
,得(8+9k2)x2+18k2x+9(k2-8)=0,x1+x2=-
,x1x2=
,
所以m=
=
=
=
=
=
,其中h为点O到AE的距离,
n=
=
=
=
=
=
=
,
m+n=
+
=
=
,
=2+
=2+
=2+
=2-
=-
.
因为点A在第一象限,所以0<k<2
,即0<k2<8,
令t=-
,则k2=8-
,所以0<8-
<8,即0<
<
,解得t>2,
故m+n的取值范围是t>2.
1 |
3 |
1 |
3 |
又a2=b2+c2②,b2=8③,联立①②③解得a=3,c=1,
所以B(-3,0),F1(-1,0),F1为BF2的中点,
因为四边形EBCF2为平行四边形,所以C,E关于F1(-1,0)对称,
设C(x0,y0),则E(-2-x0,-y0),
因为E在y轴上,所以-2-x0=0,解得x0=-2,
又因为点C(x0,y0)在椭圆上,所以
x02 |
9 |
y02 |
8 |
又x0=-2,所以
4 |
9 |
y02 |
8 |
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
因此点C的坐标为(-2,-
2
| ||
3 |
(2)依题意直线AC的斜率存在,所以可设直线AC:y=k(x+1),A(x1,y1),C(x2,y2),
由
|
18k2 |
8+9k2 |
9(k2-8) |
8+9k2 |
所以m=
S△AF1O |
S△AEO |
| ||
|
|AF1| |
|AE| |
| ||
|
|x1+1| |
|x1| |
x1+1 |
x1 |
n=
S△CF1O |
S△CEO |
| ||
|
|CF1| |
|CE| |
| ||
|
|1+x2| |
|x2| |
-1-x2 |
-x2 |
1+x2 |
x2 |
m+n=
x1+1 |
x1 |
1+x2 |
x2 |
x2(1+x1)+x1(1+x2) |
x1x2 |
2x1x2+x1+x2 |
x1x2 |
=2+
x1+x2 |
x1x2 |
| ||
|
-2k2 |
k2-8 |
2(k2-8)+16 |
k2-8 |
16 |
k2-8 |
因为点A在第一象限,所以0<k<2
2 |
令t=-
16 |
k2-8 |
16 |
t |
16 |
t |
1 |
t |
1 |
2 |
故m+n的取值范围是t>2.
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