题目内容

(A题)如图,在椭圆
x2
a2
+
y2
8
=1(a>0)中,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF1交y轴于点E,且点F1,F2三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF2为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S△AF1O
S△AEO
,n=
S△CF1O
S△CEO
,求m+n的取值范围.
(1)因为F1,F2三等分线段BD,所以|F1F2|=
1
3
|BD|,即2c=
1
3
•2a
,所以a=3c①,
又a2=b2+c2②,b2=8③,联立①②③解得a=3,c=1,
所以B(-3,0),F1(-1,0),F1为BF2的中点,
因为四边形EBCF2为平行四边形,所以C,E关于F1(-1,0)对称,
设C(x0,y0),则E(-2-x0,-y0),
因为E在y轴上,所以-2-x0=0,解得x0=-2,
又因为点C(x0,y0)在椭圆上,所以
x02
9
+
y02
8
=1

又x0=-2,所以
4
9
+
y02
8
=1
,解得y0
2
10
3
,依题意y0=-
2
10
3

因此点C的坐标为(-2,-
2
10
3
);
(2)依题意直线AC的斜率存在,所以可设直线AC:y=k(x+1),A(x1,y1),C(x2,y2),
x2
9
+
y2
8
=1
y=k(x+1)
,得(8+9k2)x2+18k2x+9(k2-8)=0,x1+x2=-
18k2
8+9k2
x1x2=
9(k2-8)
8+9k2

所以m=
S△AF1O
S△AEO
=
1
2
|AF1|h
1
2
|AE|h
=
|AF1|
|AE|
=
1+k2
•|-1-x1|
1+k2
•|0-x1|
=
|x1+1|
|x1|
=
x1+1
x1
,其中h为点O到AE的距离,
n=
S△CF1O
S△CEO
=
1
2
|CF1|h
1
2
|CE|h
=
|CF1|
|CE|
=
1+k2
|-1-x2|
1+k2
•|0-x2|
=
|1+x2|
|x2|
=
-1-x2
-x2
=
1+x2
x2

m+n=
x1+1
x1
+
1+x2
x2
=
x2(1+x1)+x1(1+x2)
x1x2
=
2x1x2+x1+x2
x1x2

=2+
x1+x2
x1x2
=2+
-18k2
8+9k2
9(k2-8)
8+9k2
=2+
-2k2
k2-8
=2-
2(k2-8)+16
k2-8
=-
16
k2-8

因为点A在第一象限,所以0<k<2
2
,即0<k2<8,
令t=-
16
k2-8
,则k2=8-
16
t
,所以0<8-
16
t
<8,即0<
1
t
1
2
,解得t>2,
故m+n的取值范围是t>2.
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