题目内容

如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且
MP
=
2
3
PN
,点P随线段MN的运动而变化.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
OS
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
(1)设M(x0,0),N(0,y0),P(x,y)因为|MN|=5,所以x02+y02=25(*)
又点P是MN上一点,且|MP|=2,所以P分
MN
所成的比为
2
3

x=
x0+
2
3
×0
1+
2
3
=
3
5
x0
y=
0+
2
3
×y0
1+
2
3
=
2
5
y0
x0=
5
3
x
y0=
5
2
y

将其代入(*)得
x2
9
+
y2
4
=1
即为所求的方程
(2)
OS
=
OA
+
OB
,所以四边形OASB为平行四边形,若存在l使得|
OS
|=|
AB
|,则四边形OASB为矩形
OA
OB
=0
若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由
x=2
x2
9
+
y2
4
=1
x=2
y=±
2
5
3

OA
OB
=
16
9
>0,与
OA
OB
=0
矛盾,故l的斜率存在.
设l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2
y=k(x-2)
x2
9
+
y2
4
=1
⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0

x1+x2=
36k2
9k2+4
x1x2=
36(k2-1)
9k2+4

y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
20k2
9k2+4

把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
3
2

∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等
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