题目内容
如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且
=
,点P随线段MN的运动而变化.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
=
+
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
MP |
2 |
3 |
PN |
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
OS |
OA |
OB |
(1)设M(x0,0),N(0,y0),P(x,y)因为|MN|=5,所以x02+y02=25(*)
又点P是MN上一点,且|MP|=2,所以P分
所成的比为
∴
∴
将其代入(*)得
+
=1即为所求的方程
(2)
=
+
,所以四边形OASB为平行四边形,若存在l使得|
|=|
|,则四边形OASB为矩形
∴
•
=0若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由
得
∴
•
=
>0,与
•
=0矛盾,故l的斜率存在.
设l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2)由
⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0
∴x1+x2=
,x1x2=
①
y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
②
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等
又点P是MN上一点,且|MP|=2,所以P分
MN |
2 |
3 |
∴
|
|
将其代入(*)得
x2 |
9 |
y2 |
4 |
(2)
OS |
OA |
OB |
OS |
AB |
∴
OA |
OB |
|
|
∴
OA |
OB |
16 |
9 |
OA |
OB |
设l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2)由
|
∴x1+x2=
36k2 |
9k2+4 |
36(k2-1) |
9k2+4 |
y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-
20k2 |
9k2+4 |
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±
3 |
2 |
∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等
练习册系列答案
相关题目