Question

已知圆的方程为,直线过点,且与圆相切.
(1)求直线的方程;
(2)设圆与轴交于两点,是圆上异于的任意一点,过点且与轴垂直的直线为,直线交直线于点,直线交直线于点.求证:的外接圆总过定点,并求出定点坐标.

Answer 1

(1)或 
(2)过定点和  

试题分析：(1)设直线的方程为,即.
直线与圆相切,圆心到直线的距离.
解得. 直线的方程为,
即或                  ……………4分
(2)设直线,
,故直线
令,可得.                       ………6分
,故的外接圆即以为直径的圆.
该圆的方程为
即                       ……………8分
由此可知,无论为何值,当时,总有
故该圆必过定点和               ………10分
点评：解决该试题的关键是利用线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，得到直线方程，同时利用线线的垂直关系，得到点的坐标，来分析定点。体现了解析几何中运用代数的思想解决解析几何的本质，属于中档题。