Question

9．设正实数x，y，z满足x+3y+z=1，则$\frac{1}{4x+8y}+\frac{x+2y}{y+z}$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 令x+2y=m，y+z=n，问题转化为正实数m，n满足m+n=1求$\frac{1}{4m}+\frac{m}{n}$得最小值，换元结合不等式的性质可得．

解答 解：∵正实数x，y，z满足x+3y+z=1，
令x+2y=m，y+z=n，则正实数m，n满足m+n=1，
∴$\frac{1}{4x+8y}+\frac{x+2y}{y+z}$=$\frac{1}{4m}+\frac{m}{n}$=$\frac{1}{4m}+\frac{m}{1-m}$
=$\frac{1-m+4{m}^{2}}{-4{m}^{2}+4m}$=$\frac{4{m}^{2}-4m+3m+1}{-4{m}^{2}+4m}$=-1+$\frac{3m+1}{-4{m}^{2}+4m}$，
令3m+1=t，则m=$\frac{1}{3}$（t-1），t＞1
代入上式化简可得=-1+$\frac{3m+1}{-4{m}^{2}+4m}$=-1+$\frac{9t}{-4{t}^{2}+20t-16}$=-1+$\frac{9}{-4t-\frac{16}{t}+20}$
由基本不等式可得-4t-$\frac{16}{t}$=-4（t+$\frac{4}{t}$）≤-4×2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=-16，
∴-4t-$\frac{16}{t}$+20≤4，∴$\frac{9}{-4t-\frac{16}{t}+20}$≥$\frac{9}{4}$，
∴-1+$\frac{9}{-4t-\frac{16}{t}+20}$≥$\frac{5}{4}$
当且仅当t=$\frac{4}{t}$即t=2即m=$\frac{1}{3}$且n=$\frac{2}{3}$时取等号，此时x+2y=$\frac{1}{3}$，y+z=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体换元并利用函数和不等式的性质是解决问题的关键，属中档题．