题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(Ⅰ)翻折后,直线AD与直线DC、DB都垂直,可得直线与平面BDC垂直,再结合AD是平面ADB内的直线,可得平面ADB与平面垂直;
(Ⅱ)根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形,△ABC是等边三角形,利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积.
解:(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高,
∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,
又DB∩DC=D,
∴AD⊥平面BDC,
∵AD平面ABD.
∴平面ADB⊥平面BDC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,
∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA=,
从而
所以三棱锥D﹣ABC的表面积为:
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