题目内容

【题目】如图:已知抛物线 C1:y2=2px (p>0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,且当倾斜角为 60°的直线 l 经过抛物线 C1 的焦点 F 时,有|AB|=

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ)已知圆 C2:(x﹣1)2+y2= ,是否存在倾斜角不为 90°的直线 l,使得线段 AB 被圆 C2截成三等分?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)当直线l的倾斜角为60°时,直线l的方程为y= (x﹣ ),

联立方程组 ,消元得3x2﹣5px+ =0,

∴|AB|= +p= ,解得p=

∴抛物线C的方程为y2=

(Ⅱ)假设存在直线l,使得AB被圆C2三等分,设直线l与圆C2的交点为C,D,

设直线l的方程为x=my+b,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程组 ,得4y2﹣my﹣b=0,

∴y1+y2= ,y1y2=﹣ ,∴x1+x2=m(y1+y2)+2b= +2b,

∴AB的中点坐标为M( +b, ),

又圆C2的圆心为C2(1,0),∴k =

即m2+8b﹣7=0,∴b=

又|AB|= =

∵圆心C2(1,0)到直线l的距离d= ,圆C2的半径为

∴|CD|=2 =

又|AB|= = .C,D为AB的三等分点,

∴|AB|=3|CD|,

= ,解得m=± ,∴b=

∴直线l的方程为y=± x+


【解析】(I)联立方程组,利用根与系数的关系和抛物线的性质列方程解出p;(II)设直线l方程为x=my+b,与抛物线方程联立,求出AB的中点坐标,利用垂径定理列方程得出m,b的关系,利用弦长公式计算|AB|,|CD|,根据|AB|=3|CD|列方程求出m得出直线l的方程.

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