题目内容

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的点，AB1∥平面BC1Q．
（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为
2
4
，求二面角Q-BC1-C的余弦值．
（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．
因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1?平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C=PQ，
所以AB1∥PQ．
因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，
所以，Q为AC的中点．
（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB1=b，则平面BC1C的法向量
m
=(1，0，0)．
B（0，0，0），C1（0，a，b），Q(
3
4
a，
1
4
a，0)，
∴
BC1
=(0，a，b)，
QC1
=(-
3
4
a，
3
4
a，b)．
∵QC1与平面BC1C所成角的正弦值为
2
4
，
∴
2
4
=|cos＜
QC1
，
m
＞|=
|
QC1
•
m
|
|
QC1
||
m
|
=
3
4
a
3
16
a2+
9
16
a2+b2
，化为3a2=4b2，取b=
3
2
a．
设平面C1BQ的法向量为
n
=(x，y，z)，则
n
•
BC1
=0
n
•
QC1
=0
，即
ay+bz=0
-
3
4
ax+
3a
4
y+bz=0
，及b=
3
2
a．
令x=1，解得y=-
3
，z=2，∴
n
=(1，-
3
，2)．
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
1
8
=
2
4
．
故二面角Q-BC1-C的余弦值为
2
4
．
练习册系列答案
相关题目
P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量
a
=（x1，y1z1），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定义一种运算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，试计算(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值；说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值的几何意义．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，点E在棱CD上，且CE=
1
3
CD．
（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；
（2）在棱AA1上是否存在点P，使DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若二面角A-B1E-A1的余弦值为
30
6
，求棱AB的长．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是
2
3
，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．
如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=
1
2
CD=a，PD=
2
a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小（理）；
求二面角P-AC-D的正切值的大小（文）．
如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求
SC
与
OB
夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2
3
，∠ABC=
π
3
．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的正弦值．
在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点
（1）求证：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．
在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为
       ．

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