题目内容
【题目】已知数列满足:
,
,且
.
(1)求数列前20项的和
;
(2)求通项公式;
(3)设的前
项和为
,问:是否存在正整数
、
,使得
?若存在,请求出所有符合条件的正整数对
,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)所有的符号条件的正整数对
,有且仅有
和
两对,理由见解析.
【解析】
(1)根据递推公式直接代入求出各项,再分类求和即可.
(2)对根据
的奇偶性进行分类讨论,判断出数列的性质,最后求出数列
的通项公式.
(3)根据分组求和法求出的表达式,然后根据
可以求出
的表达式,最后根据题意
,得到
的表达式,可以确定
的取值范围,然后根据
的取值范围,逐一取正整数进行判断即可.
(1)
(2)当是奇数时,
;当
是偶数时,
.所以,当
是奇数时,
;当
是偶数时,
.
又,
,所以
是首项为1,公差为2的等差数列;
是首项为2,公比为3的等比数列.
因此,
(3)
,
.
所以,若存在正整数、
,使得
,则
.
显然,当时,
;
当时,由
,整理得
.显然,当
时,
;当
时,
,
所以是符合条件的一个解.
当时,
.
当时,由
,整理得
,所以
是符合条件的另一个解.
综上所述,所有的符号条件的正整数对,有且仅有
和
两对.
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