题目内容
【题目】已知数列
.如果数列
满足
，
，其中
，则称
为
的“衍生数列”.
（Ⅰ）若数列
的“衍生数列”是
，求
；
（Ⅱ）若
为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是
，….依次将数列，，，…的第
项取出，构成数列
.证明：
是等差数列.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据定义可以得到关于
的方程组，解这个方程组可得.
（Ⅱ）我们可以先计算
及
，于是我们猜测
，用数学归纳法可以证明这个结论.最后再去证明
的“衍生数列”就是
.我们也可以对
，
进行代数变形得到
，再根据
得到数列是的“衍生数列”.
（Ⅲ）设数列
中后者是前者的“衍生数列”，要证
是等差数列，可证
成等差数列，由（Ⅱ）中的证明可知，
，代数变形后根据
为奇数可以得到
.也可以利用（Ⅱ）中的代数变形方法得到
，从而得到
， 即
成等差数列，再根据
得到成等差数列.
（Ⅰ）解：因为
，所以
，
又
，所以
，
，故
，同理有
，因此
，
，所以.
（Ⅱ）证法一：
证明：由已知， ，
.
因此，猜想.
① 当
时，
，猜想成立；
② 假设
时，
.
当
时，
故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知，对于任意正整数
，有.
设数列 的“衍生数列”为
，则由以上结论可知
，其中
.
由于为偶数，所以
，
所以
，其中.
因此，数列即是数列.
证法二：
因为 ，
，
，
……
，
由于为偶数，将上述个等式中的第
这
个式子都乘以
，相加得
即，
由于
，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”.
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列
中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明
即可.
由（Ⅱ）中结论可知，
，
所以，
，即成等差数列，
所以
是等差数列.
证法二：
因为
，
所以.
所以欲证成等差数列，只需证明
成等差数列即可.
对于数列及其“衍生数列”，
因为 ，
，
，
……
，
由于为奇数数，将上述个等式中的第这
个式子都乘以，相加得
即，
设数列的“衍生数列”为，
因为
，
所以， 即 成等差数列.
同理可证，
也成等差数列.
即
是等差数列.所以成等差数列.
