题目内容
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上一点,
为椭圆长轴上一点,求
的最大值与最小值;
(3)设是椭圆
外的动点,满足
,点
是线段
与该椭圆的交点,点
在线段
上,并且满足
,
,求点
的轨迹方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当
时,
,当
时
.(Ⅲ)
【解析】试题分析:(1)运用正方形的性质可得 ,求得
,进而得到椭圆方程;(2)设
是椭圆
上一点,则
,运用两点的距离公式和二次函数的最值求法,即可得到所求最值;
(3)通过连接 ,连接
利用椭圆定义可知
进而
为线段
的中点,利用三角形中位线定理可知
,进而可得轨迹方程.
试题解析:(Ⅰ)由题意得
所以椭圆的方程为:.
(Ⅱ)设,因为
是椭圆
上一点,所以
.
因为
所以当时,
,
当时
.
(Ⅲ)设点的坐标为
当时,点
和点
在轨迹上.
当且
时,由
,得
.
又,
所以,所以
为线段
的中点.
在中,
,所以有
综上所述,点的轨迹方程为

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