题目内容
【题目】已知椭圆C:(
)的焦距为
,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于
、
,且在椭圆C上存在点M,使得:
(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线、
、
都具有性质H.
【答案】(1)(2)
;(3)证明见解析;
【解析】
(1)根据正三角形中的长度关系列出的关系求解即可.
(2) 设直线,再求得
满足的关系式,进而代入
化简求解即可.
(3)假设存在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R满足条件,再将对应的点坐标代入椭圆方程,分情况讨论得出矛盾即可.
(1),所以
,
又右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形,所以,
因为,
解得:,
,
所以,椭圆方程为:
(2)设直线,则
,
其中满足:
,
,
设,
∵(其中O为坐标原点),
∴,
∵点在椭圆
上,
∴,
∴,
∴,
∴直线的方程为
或
.
(3) 证明:假设在椭圆上存在三个不同的点
,
使得直线都具有性质
,
∵直线具有性质
,
∴在椭圆上存在点M,使得:
,
设,则
,
,
∵点在椭圆上,∴
,
又∵,
,代入化简得
,①
同理:②,
,③
1)若中至少一个为0,不妨设
,则
,
由①③得,即
为长轴的两个端点,则②不成立,矛盾。
2)若均不为0,则由①②③得
,矛盾。
∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线、
、
都具有性质H.
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