题目内容
【题目】按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：
；即3，5，第三行是：
即4，6，6，8；
（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第
行所有的项的和为
．
（1）求
；
（2）试求
与的递推关系，并据此求出数列
的通项公式；
（3）设
，求
和
的值．
【答案】（1）
（2）
，
（3）
，
【解析】
（1）根据已给数据可计算
，写出第5行后可计算
；
（2）根据数表的形成过程，可得递推关系：
，化简后，构造新数列
是等差数列，通项公式可求；
（3）计算
，并裂项得
，即用裂项相消法求得和
，然后可求得极限．
（1）第5行数据是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．
∴ ．
（2）由题意，第
行共有
项，
于是有
等式两边同除
，得，
即
为等差数列，公差为
，首项为
所以
，即．
（3）因为
所以
所以
，
．
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