题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx+x2 .
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣3x的极值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由已知,得h(x)=f(x)﹣3x=lnx+x2﹣3x, (x>0),
令 =0,得x=
或x=1,
∴当x∈(0, )∪(1,+∞)时,h′(x)>0,当x∈(
)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0, ),(1,+∞)上为增函数,在(
)上为减函数.
∴h(x)极小值=h(1)=﹣2, ;
(Ⅱ)g(x)=f(x)﹣ax=lnx+x2﹣ax,g′(x)= ,
由题意,知g′(x)≥0(x>0)恒成立,
即a≤ .
∵x>0时,2x+ ,当且仅当x=
时等号成立.
故 ,
∴a .
【解析】(Ⅰ)由已知得到h(x),求其导函数,解得导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,求得函数的单调区间,进一步求得极值;(Ⅱ)由函数g(x)=f(x)﹣ax在定义域内为增函数,可得g′(x)≥0(x>0)恒成立,分离参数a,利用基本不等式求得最值得答案.
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