Question

【题目】已知，∈[1，＋∞).

（1）当时，判断函数的单调性并证明；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）若对任意∈[1，＋∞)，＞0恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）当时，f(x)＝x＋＋2，

任取1≤x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，

∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.

又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

（2）由f(x)的单调性可知，在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.

（3）在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，

则.

等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值.

只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值.

φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，

∴当x＝1时，φ(x)取得最大值，为φ(1)＝－3.

∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞).