题目内容
【题目】已知四棱锥的底面
是菱形.
(1)若,求证:
平面
;
(2),
分别是
,
上的点,若
平面
,
,求
的值;
(3)若,平面
平面
,
,判断
是否为等腰三角形?并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
不可能为等腰三角形,理由见解析.
【解析】
(1)作辅助线,利用线面垂直的判定定理证明即可;
(2)过作
交
于
,连接
,利用平行的传递性以及线面平行的性质得出四边形
为平行四边形,进而得出
,结合相似三角形的性质得出
的值;
(3)作交
于点
,连接
,由面面垂直,线面垂直的性质定理得出
,根据直角三角形斜边大于直角边,钝角三角形钝角所对的边大于另外两边,得出
,
,由等腰三角形的性质得出
,进而得到
,即可得出
不可能为等腰三角形.
(1)证明:设,连接
因为四边形是菱形,所以
,
.
因为,所以
.
因为,
平面
,所以
平面
.
(2)过作
交
于
,连接
,
在菱形中,
,
,所以
,所以
,
,
,
共面.
因为平面
,
平面
,平面
平面
所以.
所以四边形为平行四边形.所以
.
因为,所以
.
(3)不可能为等腰三角形,理由如下:
作交
于点
,连接
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
所以平面
.
所以.
因为,
,
平面
所以平面
因为平面
,所以
.
所以,且
.
所以.所以
.
在菱形中,若
,所以
是等边三角形.
所以为
的中点,所以
,
∴
即.
所以不可能为等腰三角形.
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