题目内容
【题目】已知常数
，数列
的前n项和为
，
，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，且数列
是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若
，
，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得
？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
且
（3）存在满足要求的p，q，且有一组值为
【解析】
(1)利用
关系结合题目条件消去
，得到
的递推关系，从而求出的通项公式.
(2) 数列
是单调递增数列,则
恒成立，从而得到
，再分
的奇偶性讨论求解，从而得到答案.
(3)由（1）
，
，
可化为
，得
，令
或
，可得答案.
解：（1）∵
∴
∴
相减得
即
其中
∴
为定值
∴
是以2为首项
为公差的等差数列
∴
方法二：∵
∴
∴
其中
∴
为定值
∴
是以2为首项a为公差的等差数列
∴
∴
（2）由是单调递增数列
得
即
即
1°若n为正奇数
则
在n为正奇数时恒成立
设
则
∴
∴
即
方法二：则
它在
时为正，在为负
∴
∴
即
2°若n为正偶数
则
在n为正偶数时恒成立
设
则
∴
∴
方法二：则
∴
∴
综合1°2°及得且
（3）由（1）得
∴可化为
方法一：即
任意给定的正整数
,
为正整数，则
令
得
（或令
得
，或交换前两组p，q的值，能够确定的有四组）
∴存在满足要求的p，q，且有一组值为
方法二：即
即
令
即
（或令
即
，或交换前两组p，q的值，共能确定四组）
∴存在满足要求的p，q，且有一组值为
【题目】为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别 | 第一阶梯水量 | 第二阶梯水量 | 第三阶梯水量 |
月用水量范围(单位：立方米) |
|
|
|
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到
户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
