题目内容
【题目】若函数在点
处的切线方程为
.
(1)求函数的解析式.
(2)若方程有
个不同的根,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
先对函数求导,得到;
(1)根据题意,得到,求解得出
,即可得出结果;
(2)先由导数的方法研究函数的单调性与极值,再将方程
有
个不同的根,转化为直线
与函数
的图象有
个交点,结合函数图像,即可求出结果.
因为,所以
.
(1)因为函数在点
处的切线方程为
,
所以有,解得
;
故所求函数的解析式为;
(2)由(1)可得,
令,得
或
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,2) | 2 | (2,+∞) |
+ | 0 | - | 0 | + | |
因此,当x=-2时,有极大值
,
当x=2时,有极小值
,
所以函数的图象大致如图所示.
若有
个不同的根,则直线
与函数
的图象有
个交点,
所以.
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