Question

  在直三棱柱中，="2" ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.
（I）求证：平面；
(II)若//平面，试确定点的位置，
并给出证明；
(III)求二面角的余弦值.
【

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

本题考查了线面平行与垂直及二面角的求法。第一问抓住线面垂直的判定定理须证，；第二问先说明是棱的中点，再,取的中点H，证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理得证；第三问利用法向量求二面角的余弦值，要注意法向量的准确求解和余弦值的正负。
解：(I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，
∴  …………………………1分
,, 
∴⊥平面 ………………………2分
平面
∴，即 …………………3分
又
∴平面     …………………………………4分
（II）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分
证明如下:
连结,取的中点H，连接,
则为的中位线 
∴∥，…………………6分
∵由已知条件，为正方形
∴∥，
∵为的中点，
∴                                       ……………………7分
∴∥，且
∴四边形为平行四边形
∴∥
又 ∵          
∴//平面                                    ……………………8分
(III)∵直三棱柱且
依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……………………9分

,,,,
则，
设平面的法向量，
则,即，
令，有                            ……………………10分
又平面的法向量为，
==，                   ……………………11分
设二面角的平面角为，且为锐角
．                      ……………………12分.