Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$，其中a，b是实常数，且a＜0，b＞0
（1）求函数f（x）的定义域D_f和值域C_f；
（2）设点集{（x，y）|x∈D_f，y∈C_f}构成正方形区域，求a，b需要满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，结合二次函数的单调性求得函数值域；
（2）由题意可得$-\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{{b}^{2}}{4a}}$，整理后得答案．

解答 解：（1）∵a＜0，b＞0，
由ax²+bx≥0，解得：0$≤x≤-\frac{b}{a}$．
∴函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$的定义域D_f=[0，$-\frac{b}{a}$]；
值域C_f=[0，$\sqrt{-\frac{{b}^{2}}{4a}}$]；
（2）∵点集{（x，y）|x∈D_f，y∈C_f}构成正方形区域，
∴$-\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{{b}^{2}}{4a}}$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查二次不等式的解法，关键是对题意的理解，是基础题．