题目内容
6.已知函数f(x)=|log2(ax)|在x∈[$\frac{1}{4}$,2]上的最大值为M(a),则M(a)的最小值是( )A. | 2 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |
分析 对a讨论,当0<a<$\frac{1}{2}$时,当$\frac{1}{2}$≤a<1时,当1≤a<$\sqrt{2}$时,当a≥$\sqrt{2}$时,通过图象,比较f($\frac{1}{4}$)和f(2)的大小,求得M(a)的范围,即可得到最小值.
解答 解:0<a<1的图象如右,
当0<a<$\frac{1}{2}$时,f($\frac{1}{4}$)=|log2($\frac{1}{4}$a)|
=log2$\frac{4}{a}$,f(2)=log2$\frac{1}{2a}$,f($\frac{1}{4}$)>f(2),
即有M(a)=log2$\frac{4}{a}$∈(3,+∞),
当$\frac{1}{2}$≤a<1时,f($\frac{1}{4}$)=|log2($\frac{1}{4}$a)|
=log2$\frac{4}{a}$,f(2)=log2(2a),f($\frac{1}{4}$)>f(2),
即有M(a)=log2$\frac{4}{a}$∈(2,3];
a≥1的图象如右,
当1≤a<$\sqrt{2}$时,f($\frac{1}{4}$)=|log2($\frac{1}{4}$a)|
=log2$\frac{4}{a}$,f(2)=log2(2a),f($\frac{1}{4}$)>f(2),
即有M(a)=log2$\frac{4}{a}$∈($\frac{3}{2}$,2);
当a≥$\sqrt{2}$时,f($\frac{1}{4}$)=|log2($\frac{1}{4}$a)|
=log2$\frac{4}{a}$,f(2)=log2(2a),f($\frac{1}{4}$)<f(2),
即有M(a)=log2(2a)∈[$\frac{3}{2}$,+∞).
综上可得M(a)的范围是[$\frac{3}{2}$,+∞).
则M(a)的最小值为$\frac{3}{2}$.
故选B.
点评 本题考查函数的最值的求法,考查对数函数的图象和性质,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
A. | (1,2,3) | B. | (0,0,3) | C. | (0,2,3) | D. | (0,1,3) |