Question

8．已知t为常数，函数f（x）=|x³-3x-t+1|在区间[-2，1]上的最大值为2，则实数t=1．

Answer 1

分析 考虑函数g（x）=x³-3x，求出导数，求得最值，再考虑h（x）=x³-3x-t+1的图象为g（x）上下平移的结果，而f（x）就是h（x）负的部分翻到x轴上面得到的图象，讨论h（0）≥0，h（0）≤0，求出f（x）的最大值，解方程即可得到所求．

解答 解：观察函数g（x）=x³-3x，
g′（x）=3x²-3，表明g（x）在[-2，-1]递增，在[-1，1]递减，
g（-2）=-2，g（1）=-2，最大值g（-1）=2，
容易画出g（x）图象如右，
h（x）=x³-3x-t+1就是g（x）上下平移的结果，
f（x）就是h（x）负的部分翻到x轴上面得到的图象，
考察h（x）①h（0）≥0，则h（x）最大值的绝对值大于h（x）最小值的绝对值，
因此h（0）=-t+1≥0，f（x）最大值在x=-1处取得，与h（x）最大值相等，
h（-1）=-t+3=2，解得t=1；
②h（0）≤0，则h（x）最大值的绝对值小于h（x）最小值的绝对值，
因此h（0）=-t+1≤0，f（x）最大值在x=-2或者x=1处取得，
与h（x）最小值的相反数相等．h（1）=-t-1=-2，解得t=1．
综上可得t=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查运算能力，属于中档题．