Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时, 减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅲ）．

【解析】

（1）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由两直线垂直的条件可得f′（1）＝﹣3，求出a的值；

（2）求出f′（x），对a讨论，由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；

（3）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．

（Ⅰ）定义域，，，

∴．

（Ⅱ）

当，，单减区间为

当时

令，单增区间为；令，单减区间为

当时，单减区间

∴当时, 减区间为；

当时，增区间为，减区间为；

（Ⅲ）

令，，

令，；令，

∴是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点

∴

∵在上有两个零点

∴只须

∴．