题目内容
【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,
,E,F分别为AB,CD的中点,
,M为DF中点.现将四边形BEFC沿EF折起,使平面
平面AEFD,得到如图
所示的多面体.在图
中,
(1)证明:;
(2)求二面角E-BC-M的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
1
推导出
,
,折叠后,
,
,从而
平面DCF,由此能证明
;
2
以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
(1)证明:由题意,在等腰梯形ABCD中,,
分别为AB,CD的中点,
,
,
折叠后,
,
,
,
平面DCF,
又平面DCF,
;
(2)
平面
平面AEFD,平面
平面
,且
,
平面BEFC,
,
,CF,EF两两垂直,
以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
,
,
0,
,
2,
,
1,
,
2,
,
1,
,
设平面MBC的法向量y,
,
则,取
,得
,
设平面EBC的法向量,
则
二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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