题目内容
【题目】如图
，在等腰梯形ABCD中，
，E，F分别为AB，CD的中点，
，M为DF中点.现将四边形BEFC沿EF折起，使平面
平面AEFD，得到如图
所示的多面体.在图中，
（1）证明：
；
（2）求二面角E-BC-M的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
1
推导出
，
，折叠后，
，
，从而
平面DCF，由此能证明
；2以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
(1)证明：由题意，在等腰梯形ABCD中，
，
分别为AB，CD的中点，
，
，
折叠后，
，
，
，
平面DCF，
又
平面DCF，
；
(2)
平面
平面AEFD，平面
平面
，且，
平面BEFC，
，
，CF，EF两两垂直，
以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
0，
，
2，，
1，
，
2，，
1，，
设平面MBC的法向量
y，
，
则
，取
，得
,
设平面EBC的法向量
，
则
二面角
的余弦值为．
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