题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex(x2+ax+a)(a∈R) (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=﹣1,判断f(x)是否存在最小值,并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为R.f'(x)=ex[x2+(a+2)x+2a]=ex(x+2)(x+a) 令f'(x)=0,得x1=﹣2,x2=﹣a
当﹣a=﹣2,即a=2时,f'(x)≥0恒成立,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞),无单调减区间
当﹣a<﹣2,即a>2时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (﹣∞,﹣a) | ﹣a | (﹣a,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以,f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣a),(﹣2,+∞),单调减区间为(﹣a,﹣2)
当﹣a>﹣2,即a<2时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (﹣∞,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,﹣a) | ﹣a | (﹣a,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以,f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣2),(﹣a,+∞),单调减区间为(﹣2,﹣a)
(Ⅱ)f(x)有最小值,
∵a=﹣1,
∴f(x)=ex(x2﹣x﹣1).
令f(x)=0得 .
所以f(x)有两个零点.
当 或
时,f(x)>0,
当 时,f(x)<0,
由(Ⅰ)可知,f(x)在(﹣∞,﹣2),(1,+∞)上单调增,在(﹣2,1)上单调减,
∴f(x)有最小值f(1).
【解析】(Ⅰ)根据导数和函数的单调性的关系即可判断,需要分类讨论,(Ⅱ)根据导数和函数的最值得关系即可判断.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下: 5860 6520 7326 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860
8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表(设步数为x)
组别 | 步数分组 | 频数 |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x<8500 | m |
D | 8500≤x<9500 | 2 |
E | 9500≤x<10500 | n |
(Ⅰ)写出m,n的值,若该“微信运动”团队共有120人,请估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数;
(Ⅱ)记C组步数数据的平均数与方差分别为v1 , ,E组步数数据的平均数与方差分别为v2 ,
,试分别比较v1与v2 ,
与
的大小;(只需写出结论)
(Ⅲ)从上述A,E两个组别的步数数据中任取2个数据,求这2个数据步数差的绝对值大于3000步的概率.