题目内容
【题目】已知函数y=f(x),若在定义域内存在x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则称x0为函数f(x)的局部对称点.
(I)若a∈R且a≠0,求函数f(x)=ax2+x﹣a的“局部对称点”;
(II)若函数f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=ax2+x﹣a,得f(﹣x)=ax2﹣x﹣a,代入f(﹣x)=﹣f(x),得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0,即ax2﹣a=0(a≠0),
∴x=±1,
∴函数f(x)=ax2+x﹣a的局部对称点是±1;
(Ⅱ)∵f(﹣x)=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3,由f(﹣x)=﹣f(x),
得4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣(4x﹣m2x+1+m2﹣3),
于是4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2(m2﹣3)=0①在R上有解,
令t=2x+2﹣x , (t≥2),则4x+4﹣x=t2﹣2,
∴方程①变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0在区间[2,+∞)内有解,
令g(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8,由题意需满足以下条件:
g(2)≤0或 ,
解得 或
,
综上
【解析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求得x值得答案;(Ⅱ)由f(﹣x)=﹣f(x),可得4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2(m2﹣3)=0在R上有解,令t=2x+2﹣x , (t≥2),则4x+4﹣x=t2﹣2,转化为在区间[2,+∞)内有解,令g(t)=t2﹣2mt+2m2﹣8,由题意需满足以下条件:g(2)≤0或 ,求解得答案.
【考点精析】利用函数的定义域及其求法对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②
是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③
是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零.
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