Question

【题目】已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．
（I）若a∈R且a≠0，求函数f（x）=ax2+x﹣a的“局部对称点”；
（II）若函数f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+x﹣a，得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x），得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0，即ax2﹣a=0（a≠0），
∴x=±1，
∴函数f（x）=ax2+x﹣a的局部对称点是±1；
（Ⅱ）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），
得4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），
于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0①在R上有解，
令t=2x+2﹣x ， （t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程①变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0在区间[2，+∞）内有解，
令g（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，由题意需满足以下条件：
g（2）≤0或 ，
解得 或 ，
综上
【解析】（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求得x值得答案；（Ⅱ）由f（﹣x）=﹣f（x），可得4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解，令t=2x+2﹣x ， （t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，转化为在区间[2，+∞）内有解，令g（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，由题意需满足以下条件：g（2）≤0或 ，求解得答案．
【考点精析】利用函数的定义域及其求法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零．