题目内容
【题目】已知椭圆C1: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且
(I)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线7x﹣7y+1=0上,求直线AC的方程.
【答案】解:(I)设点M为(x1 , y1),∵F2是抛物线y2=4x的焦点,
∴F2(1,0);
又|MF2|= ,由抛物线定义知
x1+1= ,即x1= ;
由M是C1与C2的交点,
∴y12=4x1 , 即y1=± ,这里取y1= ;
又点M( , )在C1上,
∴ + =1,且b2=a2﹣1,
∴9a4﹣37a2+4=0,∴ (舍去),
∴a2=4,b2=3;
∴椭圆C1的方程为:
(II)∵直线BD的方程为:7x﹣7y+1=0,在菱形ABCD中,AC⊥BD,
不妨设直线AC的方程为x+y=m,
则
∴消去y,得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0;
∵点A、C在椭圆C1上,
∴(﹣8m)2﹣4×7×(4m2﹣12)>0,即m2<7,∴﹣ <m< ;
设A(x1 , y1),C(x2 , y2),
则x1+x2= ,y1+y2=(﹣x1+m)+(﹣x2+m)=﹣(x1+x2)+2m=﹣ +2m= ,
∴AC的中点坐标为 ,
由菱形ABCD知,点 也在直线BD:7x﹣7y+1=0上,
即7× ﹣7× +1=0,∴m=﹣1,由m=﹣1∈ 知:
直线AC的方程为:x+y=﹣1,即x+y+1=0
【解析】(Ⅰ)设点M为(x1 , y1),由F2是抛物线y2=4x的焦点,知F2(1,0);|MF2|= ,由抛物线定义知x1+1= ,即x1= ;由M是C1与C2的交点,y12=4x1 , 由此能求出椭圆C1的方程.(Ⅱ)直线BD的方程为:7x﹣7y+1=0,在菱形ABCD中,AC⊥BD,设直线AC的方程为x+y=m,由 ,得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0.由点A、C在椭圆C1上,知(﹣8m)2﹣4×7×(4m2﹣12)>0,由此能导出直线AC的方程.