题目内容

【题目】已知椭圆C1 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且
(I)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线7x﹣7y+1=0上,求直线AC的方程.

【答案】解:(I)设点M为(x1 , y1),∵F2是抛物线y2=4x的焦点,
∴F2(1,0);
又|MF2|= ,由抛物线定义知
x1+1= ,即x1=
由M是C1与C2的交点,
∴y12=4x1 , 即y1 ,这里取y1=
又点M( )在C1上,
+ =1,且b2=a2﹣1,
∴9a4﹣37a2+4=0,∴ (舍去),
∴a2=4,b2=3;
∴椭圆C1的方程为:
(II)∵直线BD的方程为:7x﹣7y+1=0,在菱形ABCD中,AC⊥BD,
不妨设直线AC的方程为x+y=m,

∴消去y,得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0;
∵点A、C在椭圆C1上,
∴(﹣8m)2﹣4×7×(4m2﹣12)>0,即m2<7,∴﹣ <m<
设A(x1 , y1),C(x2 , y2),
则x1+x2= ,y1+y2=(﹣x1+m)+(﹣x2+m)=﹣(x1+x2)+2m=﹣ +2m=
∴AC的中点坐标为
由菱形ABCD知,点 也在直线BD:7x﹣7y+1=0上,
即7× ﹣7× +1=0,∴m=﹣1,由m=﹣1∈ 知:
直线AC的方程为:x+y=﹣1,即x+y+1=0
【解析】(Ⅰ)设点M为(x1 , y1),由F2是抛物线y2=4x的焦点,知F2(1,0);|MF2|= ,由抛物线定义知x1+1= ,即x1= ;由M是C1与C2的交点,y12=4x1 , 由此能求出椭圆C1的方程.(Ⅱ)直线BD的方程为:7x﹣7y+1=0,在菱形ABCD中,AC⊥BD,设直线AC的方程为x+y=m,由 ,得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0.由点A、C在椭圆C1上,知(﹣8m)2﹣4×7×(4m2﹣12)>0,由此能导出直线AC的方程.

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