Question

16．在平面直角坐标系中，A、B分别是直线y=2x-1与y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$上的动点，若以AB为直径的圆与直线x=-$\frac{1}{2}$相切．
（Ⅰ）求圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点（$\frac{1}{2}$，0）的直线l与C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线l′交C 于E、F两点，且M、N、E、F四点在同一圆上，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线y=2x-1与y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$垂直，且交点为（$\frac{1}{2}$，0），设以AB为直径的圆心C的坐标为（x，y），由题意可得C到直线x=-$\frac{1}{2}$和到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离相等，运用抛物线的定义和方程，即可得到；
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|MN|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|EF|．由于EF垂直平分线段MN，故MNEF四点共圆等价于|MH|=|NH|=$\frac{1}{2}$|EF|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）直线y=2x-1与y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$垂直，且交点为（$\frac{1}{2}$，0），
设以AB为直径的圆心C的坐标为（x，y），
则C到直线x=-$\frac{1}{2}$和到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离相等，
由抛物线的定义，可得C的轨迹为焦点为（$\frac{1}{2}$，0）的抛物线，
即有方程为y²=2x；
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y²=2x的焦点为（$\frac{1}{2}$，0），
设l的方程为x=my+$\frac{1}{2}$（m≠0），
代入抛物线方程可得y²-2my-1=0，
显然判别式△=4m²+4＞0，y₁+y₂=2m，y₁•y₂=-1．
∴MN的中点坐标为D（m²+$\frac{1}{2}$，m），
弦长|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2（m²+1）．
又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-$\frac{1}{m}$y+m²+$\frac{3}{2}$．
过F的直线l与C相交于M、N两点，若MN的垂直平分线l′与C相交于E、F两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y²+$\frac{2}{m}$y-（2m²+3）=0，
∴y₃+y₄=$\frac{-2}{m}$，y₃•y₄=-（2m²+3）．
故线段EF的中点H的坐标为（$\frac{1}{{m}^{2}}$+m²+$\frac{3}{2}$，$\frac{-1}{m}$），
∴|EF|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\frac{2（1+{m}^{2}）\sqrt{1+2{m}^{2}}}{{m}^{2}}$，
∵EF垂直平分线段MN，故M，N，E，F四点共圆等价于|MH|=|NH|=$\frac{1}{2}$|EF|，
∴$\frac{1}{4}$MN²+DH²=$\frac{1}{4}$EF²，
∴4（m²+1）² +（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）²+（m+$\frac{1}{m}$）²=$\frac{1}{4}$•$\frac{4（1+{m}^{2}）^{2}•（1+2{m}^{2}）}{{m}^{4}}$，
化简可得 4m²-1=0，
∴m=±$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为 2x-y-1=0，或 2x+y-1=0．

点评 本题主要考查求圆心的轨迹方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．