题目内容
6．设数列{an}，{bn}，已知a1=3，b1=5，${a_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{{4+{a_n}}}{2}$，（n∈N*）．（1）求数列{bn-an}的通项公式；
（2）求证：对任意n∈N*，an+bn为定值；
（3）设Sn为数列{bn}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（Sn-4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．
分析 （1）通过变形易得数列{bn-an}是以2为首项、$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而可得结论；
（2）通过变形可得${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}-8=\frac{1}{2}（{a_n}+{b_n}-8）$，取n=1即得结论；
（3）通过an+bn=8与${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$两式相加可得Sn=4n+$\frac{2}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）n]，通过p•（Sn-4n）∈[1，3]，化简可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，对n分奇偶数讨论，可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值为$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最小值为2，进而可得结论．
解答 解：（1）${b_{n+1}}-{a_n}_{+1}=\frac{{4+{a_n}}}{2}-\frac{{4+{b_n}}}{2}=\frac{{{a_n}-{b_n}}}{2}=-\frac{1}{2}（{b_n}-{a_n}）$，
又b1-a1=2，∴{bn-an}是以2为首项，$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$；
（2）∵${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}+\frac{{4+{a_n}}}{2}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}+4$，
∴${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}-8=\frac{1}{2}（{a_n}+{b_n}-8）$，
又a1+b1-8=0，∴an+bn-8=0恒成立，
即an+bn=8为定值；
（3）由（1）（2）得：an+bn=8，${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
两式相加即得：${b_n}=4+{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴Sn=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）n]，
∴p•（Sn-4n）=$\frac{2p}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）n]，
∵p•（Sn-4n）∈[1，3]，∴1≤$\frac{2p}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）n]≤3，
∵1-（-$\frac{1}{2}$）n＞0，∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
当n为奇数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n}}}$随n的增大而递增，且0＜$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＜1；
当n为偶数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$随n的增大而递增，且$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＞1；
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值为$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最小值为2，
∵$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{2p}{3}$≤2，解得：2≤p≤3，
∴实数p的取值范围为：[2，3]．
点评 本题考查求数列的通项，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．| A． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$ | B． | -$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ | C． | -$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ |