设数列{an}.{bn}.已知a1=3.b1=5.${a {n+1}}=\frac{{4+{b n}}}{2}$.${b {n+1}}=\frac{{4+{a n}}}{2}$.(n∈N*)．(1)求数列{bn-an}的通项公式,(2)求证:对任意n∈N*.an+bn为定值,(3)设Sn为数列{bn}的前n项和.若对任意n∈N*.都有p•(Sn-4n)∈[1.3].求实数p的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．设数列{a_n}，{b_n}，已知a₁=3，b₁=5，${a_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{{4+{a_n}}}{2}$，（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n-a_n}的通项公式；
（2）求证：对任意n∈N^*，a_n+b_n为定值；
（3）设S_n为数列{b_n}的前n项和，若对任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．

分析（1）通过变形易得数列{b_n-a_n}是以2为首项、$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而可得结论；
（2）通过变形可得${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}-8=\frac{1}{2}（{a_n}+{b_n}-8）$，取n=1即得结论；
（3）通过a_n+b_n=8与${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$两式相加可得S_n=4n+$\frac{2}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，通过p•（S_n-4n）∈[1，3]，化简可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，对n分奇偶数讨论，可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值为$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最小值为2，进而可得结论．

解答解：（1）${b_{n+1}}-{a_n}_{+1}=\frac{{4+{a_n}}}{2}-\frac{{4+{b_n}}}{2}=\frac{{{a_n}-{b_n}}}{2}=-\frac{1}{2}（{b_n}-{a_n}）$，
又b₁-a₁=2，∴{b_n-a_n}是以2为首项，$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$；
（2）∵${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}+\frac{{4+{a_n}}}{2}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}+4$，
∴${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}-8=\frac{1}{2}（{a_n}+{b_n}-8）$，
又a₁+b₁-8=0，∴a_n+b_n-8=0恒成立，
即a_n+b_n=8为定值；
（3）由（1）（2）得：a_n+b_n=8，${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
两式相加即得：${b_n}=4+{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
∴p•（S_n-4n）=$\frac{2p}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
∵p•（S_n-4n）∈[1，3]，∴1≤$\frac{2p}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]≤3，
∵1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ＞0，∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
当n为奇数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n}}}$随n的增大而递增，且0＜$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＜1；
当n为偶数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$随n的增大而递增，且$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＞1；
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值为$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最小值为2，
∵$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{2p}{3}$≤2，解得：2≤p≤3，
∴实数p的取值范围为：[2，3]．