题目内容
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入
万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从
开始计数的．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y（单位：万元） | 2 | 3 | 2 | 7 |
表中的数据显示，
与
之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程．
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
，
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为
，可计算小长方形的宽度；（Ⅱ）平均值为各组的区间中点值与对应组频率乘积之和，由此可求平均值的估计值；（Ⅲ）首先由（Ⅱ）求得空白处应为，由此计算
，然后结合所给公式求
，从而求出回归直线方程．
试题解析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为
，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是
，
其中点分别为
，对应的频率分别为
，
故可估计平均值为
；
（Ⅲ）空白栏中填5．
由题意可知，
，
，
，
，
根据公式，可求得
，
，
即回归直线的方程为
．
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