题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,,∠ABC=∠BCD=90°,E为PB的中点。
(1)证明:CE∥面PAD.
(2)若直线CE与底面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积。
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)取PA中点Q,连接QD,QE,可证四边形CDQE为平行四边形,从而CE∥QD,于是证得线面平行;
(2)连接BD,取BD中点O,连接EO,CO,可证EO∥PD,从而得到直线CE与底面ABCD所成的角,求得EO也即能求得PD,最终可得棱锥体积.
解法一:(1)取PA中点Q,连接QD,QE,
则QE∥AB,且QE=AB
∴QE∥CD,且QE=CD.
即四边形CDQE为平行四边形,CE∥QD.
又∵CE平面PAD,QD平面PAD,
∴CE∥平面PAD.
(2)连接BD,取BD中点O,连接EO,CO
则EO∥PD,且EO=PD.
∵PD⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD.
则CO为CE在平面ABCD上的射影,
即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角,∠ECO=45°
在等腰直角三角形BCD中,BC=CD=2,则BD=2,
则在RtΔECO中,∠ECO=45°,EO=CO=BD=
2PD=2E0=2,
∴
∴
∴四棱锥P-ABCD的体积为.
解法二:(1)取AB中点Q,连接QC,QE
则QE∥PA
∵PA平面PAD,QE平面PAD
∴QE∥平面PAD,
又∵AQ=
∴四边形AQCDカ平行四迹形,
则CQ∥DA
∵DA平面PAD,CQ平面PAD,
∴CQ∥平面PAD,
(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD,证明其中一个即给2分)
又QE平面CEQ,CQ平面CEQ,QECQ=Q,
∴平面CEQ∥平面PAD,
又CE平面CQ,
∴CE∥平面PAD.
(2)同解法一.
【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查,发现喜欢甜品的占.这名学生中南方学生共人。南方学生中有人不喜欢甜品.
(1)完成下列列联表:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | |||
北方学生 | |||
合计 |
(2)根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(3)已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生,其中名不喜欢甜品;有名物理系的学生,其中名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中,各随机抽取人,记抽出的人中不喜欢甜品的人数为,求的分布列和数学期望.
附:.
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】随着支付宝、微信等支付方式的上线,越来越多的商业场景可以实现手机支付.有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况,随机调查了50次商业行为,并把调查结果制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
手机支付 | 4 | 6 | 10 | 6 | 2 | 0 |
(1)若把年龄在的人称为中青年,年龄在的人称为中老年,请根据上表完成以下列联表;并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关系?
手机支付 | 未使用手机支付 | 总计 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
总计 |
(2)若从年龄在的被调查中随机选取2人进行调查,记选中的2人中,使用手机支付的人数为,求的分布列及数学期望.
参考公式:,其中.
独立性检验临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |