题目内容

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,∠ABC=BCD=90°,EPB的中点。

1)证明:CE∥面PAD.

2)若直线CE与底面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积。

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

1)取PA中点Q,连接QDQE,可证四边形CDQE为平行四边形,从而CEQD,于是证得线面平行;

2)连接BD,取BD中点O,连接EOCO,可证EOPD,从而得到直线CE与底面ABCD所成的角,求得EO也即能求得PD,最终可得棱锥体积.

解法一:(1)PA中点Q,连接QDQE

QEAB,且QE=AB

QECD,且QE=CD.

即四边形CDQE为平行四边形,CEQD.

又∵CE平面PADQD平面PAD

CE∥平面PAD.

(2)连接BD,取BD中点O,连接EOCO

EOPD,且EO=PD.

PD⊥平面ABCD

EO⊥平面ABCD.

COCE在平面ABCD上的射影,

即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角,∠ECO=45°

在等腰直角三角形BCD中,BC=CD=2,则BD=2

则在RtΔECO中,∠ECO=45°,EO=CO=BD=

2PD=2E0=2

∴四棱锥P-ABCD的体积为.

解法二:(1)AB中点Q,连接QCQE

QEPA

PA平面PADQE平面PAD

QE∥平面PAD

又∵AQ=AB=CDAQCD

∴四边形AQCDカ平行四迹形,

CQDA

DA平面PADCQ平面PAD

CQ∥平面PAD

(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD,证明其中一个即给2)

QE平面CEQCQ平面CEQQECQ=Q

∴平面CEQ∥平面PAD

CE平面CQ

CE∥平面PAD.

(2)同解法一.

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