Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为 的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2 ，M，N分别为PB，PD的中点．

（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在△PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，BD平面ABCD

∴MN∥平面ABCD

（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°

，得AC=AB= ，BD=

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC

在直角△PAC中， ，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下

A（﹣ ，0，0），B（0，﹣3，0），C（ ，0，0），D（0，3，0），P（ ），M（ ），N（ ）

Q（ ）

设 =（x，y，z）为平面AMN的法向量，则 ．

∴ ，取z=﹣1， ，

同理平面QMN的法向量为

∴ =

∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为 ．

方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA= ，BD=

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC

而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM= PB= =AN

取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角

由 ，AM=AN=3，MN=3可得AE=

在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2

在△PBC中，cos∠BPC= ，∴MQ=

在等腰△MQN中，MQ=NQ= ．MN=3，∴QE=

在△AED中，AE= ，QE= ，AQ=2 ，∴cos∠AEQ=

∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量 ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值；
方法二：证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角，在△AED中，求得AE= ，QE= ，AQ=2 ，再利用余弦定理，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．