题目内容
【题目】已知无穷数列的前
项和为
,且满足
,其中
、
、
是常数.
(1)若,
,
,求数列
的通项公式;
(2)若,
,
,且
,求数列
的前
项和
;
(3)试探究、
、
满足什么条件时,数列
是公比不为
的等比数列.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
或
或
,
.
【解析】
试题分析:(1)已知与
的关系,要求
,一般是利用它们之间的关系
,把
,化为
,得出数列
的递推关系,从而求得通项公式
;(2)与(1)类似,先求出
,
时,推导出
与
之间的关系,求出通项公式,再求出前
项和
;(3)这是一类探究性命题,可假设结论成立,然后由这个假设的结论来推导出条件,本题设数列
是公比不为
的等比数列,则
,
,代入恒成立的等式
,得
对于一切正整数
都成立,所以
,
,
,得出这个结论之后,还要反过来,由这个条件证明数列
是公比不为
的等比数列,才能说明这个结论是正确的.在讨论过程中,还要讨论
的情况,因为
时,
,
,当然这种情况下,
不是等比数列,另外
.
试题解析:(1)由,得
; 1分
当时,
,即
2分
所以; 1分
(2)由,得
,进而
, 1分
当时,
得,
因为,所以
, 2分
进而2分
(3)若数列是公比为
的等比数列,
①当时,
,
由,得
恒成立.
所以,与数列
是等比数列矛盾; 1分
②当,
时,
,
, 1分
由恒成立,
得对于一切正整数
都成立
所以,
或
或
,
3分
事实上,当,
或
或
,
时,
,
时,
,得
或
所以数列是以
为首项,以
为公比的等比数列 2分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的速情况,交通部门对名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在
名男性驾驶员中,平均车速超过
的有
人,不超过
的有
人.在
名女性驾驶员中,平均车速超过
的有
人,不超过
的有
人.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为平均车速超过
与性别有关,(结果保留小数点后三位)
平均车速超过 | 平均车速不超过 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 |
(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆,若每次抽取的结果是相互独立的,问这
辆车中平均有多少辆车中驾驶员为男性且车速超过
?
附:(其中
为样本容量)