题目内容
【题目】在如图所示的多面体中,平面
,
平面
,
,且
,
是
的中点.
()求证:
.
()若
为线段
上一点,且
,求证:
平面
.
()在棱
上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角为
.若存在,指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】)证明见解析;(
)证明见解析;(
)
为
中点.
【解析】分析:(1)证明,
,即可证明
平面
,利用直线与平面垂直的性质定理证明
;(2)以
为原点,
,
为
,
轴,建立如图所示的坐标系
,求出平面
的一个法向量,根据
可证得结果;(3)设
,
,
,利用若直线
与平面
所成的角为
,列出方程求出
,即可得到点的位置.
详解:()∵
,
是
的中点,∴
,
又∵平面
,
,
∵点,
∴平面
,∴
.
()如图,以
为原点,
,
为
,
轴,
建立如图所示的坐标系,∴
,
,
,
,
,
∴,
,
设平面的一个法向量
.
∴,∴
,
取,
∵,∴
,
∴,∴
平面
.
()在棱
上存在一点
,设
,且
,
∴,
∴,
∴,
,
,
若直线与平面
所成角为
,
∴,
解得,∴存在点
符合条件,且
点是棱
的中点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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