题目内容
【题目】如图,已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上,分别为⊙O、⊙O1的直径,且
平面
.
(1)求证:;
(2)若圆柱的体积
,
①求三棱锥A1﹣APB的体积.
②在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与所成角的余弦值为
?若存在,请指出M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)①,②见解析
【解析】
(1)根据,
得出
平面
,故而
;(2)①根据圆柱的体积计算
,根据
计算
,
,代入体积公式计算棱锥的体积;②先证明
就是异面直线
与
所成的角,然后根据
可得
,故
为
的中点.
(1)证明:∵P在⊙O上,AB是⊙O的直径,
平面
又
,
平面
,又
平面
,故
.
(2)①由题意,解得
,
由,得
,
,
∴三棱锥的体积
.
②在AP上存在一点M,当M为AP的中点时,使异面直线OM与所成角的余弦值为
.
证明:∵O、M分别为的中点,则
,
就是异面直线OM与
所成的角,
又
,
在中,
.
∴在AP上存在一点M,当M为AP的中点时,使异面直线OM与所成角的余弦值为
.

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