Question

【题目】已知等差数列{an}的公差d不为0，且 ， ，…， ，…（k1＜k2＜…＜kn＜…）成等比数列，公比为q．
（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求 的值；
（2）当 为何值时，数列{kn}为等比数列；
（3）若数列{kn}为等比数列，且对于任意n∈N* ， 不等式 恒成立，求a1的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，

所以 ，

整理可得：4d2=3a1d．

因为d≠0，所以

（2）解：设数列{kn}为等比数列，则 ．

又因为 ， ， 成等比数列，

所以 ．

整理，得 ．

因为 ，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．

因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即 ．

当 时，an=a1+（n﹣1）d=nd，所以 ．

又因为 ，所以 ．

所以 ，数列{kn}为等比数列．

综上，当 时，数列{kn}为等比数列

（3）解：因为数列{kn}为等比数列，由（2）知a1=d， ．

，an=a1+（n﹣1）d=na1．

因为对于任意n∈N*，不等式 恒成立．

所以不等式 ，

即 ， 恒成立．

下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得 ．

要证 ，即证lnn1＜n1lnq+lnε．

因为 ，则 ，

解不等式 ，即 ，

可得 ，所以 ．

不妨取 ，则当n1＞n0时，原式得证．

所以 ，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）

【解析】（1）由已知得：a1 ， a3 ， a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出 的值．（2）设数列{kn}为等比数列，则 ，推导出 ，从而 ，进而 ．由此得到当 时，数列{kn}为等比数列．（3）由数列{kn}为等比数列，a1=d， ．得到 ， 恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1 ， 使得 ． 要证 ，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．
【考点精析】掌握等比数列的基本性质是解答本题的根本，需要知道{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列．