Question

3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcos²A=2a-asinAsinB，cosB=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
（1）求sinA的值；
（2）若c=$\sqrt{7}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简已知的式子，由题意和平方关系求出sinB的值，即可求出sinA的值；
（2）方法一：由sinB与sinA的大小关系，判断出A的范围，由平方关系求出cosA，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sinC的值，结合条件和正弦定理求出a，b的值；
方法二：由（1）和正弦定理得到a、b的关系，由条件和余弦定理列出方程求出a的值，再求出b的值．

解答 解：（1）∵bcos²A=2a-asinAsinB，
由正弦定理得sinBcos²A=2sinA-sin²AsinB
化简得到：sinB=2sinA…（4分）
又∵cosB=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$…（6分）
（2）方法一、
由（1）知sinA=$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$＜sinB，故A为锐角，
则cosA=$\sqrt{1-{sin}^{2}A}$=$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
因为cosB=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，sinB=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，c=$\sqrt{7}$
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA
=$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$×$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$+$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$×$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$   …（9分）
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
解得a=1，b=2…（12分）
方法二、
由（1）得sinB=2sinA，根据正弦定理得b=2a，
因为c=$\sqrt{7}$，cosB=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
所以由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即4a²=a²+7-2a$\sqrt{7}$×$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…（9分）
解得a=1或a=-$\frac{7}{3}$（舍去），b=2a=2，
∴a=1，b=2…（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，平方关系，内角和定理等，注意角的范围，考查化简、计算能力．