Question

19．如图所示，已知圆O₁与圆O₂相交于A、B两点，过A点作圆O₁的切线交圆O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O₁、圆O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（2）设BP=x，PE=y，根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出xy=12，再根据AD∥EC得$\frac{9x}{y}$=$\frac{6}{2}$，求出x，y，即可求出PE的长．

解答 （1）证明：连接AB，
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（2）解：设BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴xy=12①，
∵AD∥EC，
∴$\frac{DP}{PE}=\frac{AP}{PC}$，
∴$\frac{9x}{y}$=$\frac{6}{2}$②，
由①②可得x=3，y=4（负数舍去）．

点评 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．